Question

18．已知抛物线y²=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为7+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设直线方程为x=my+1，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出3|AF|+4|BF|关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值．

解答 解：抛物线的焦点F（1，0），
设直线AB的方程为x=my+1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得x²-（4m²+2）x+1=0．
设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），则$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$=1．∴y₂²=$\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}$．
由抛物线的性质得|AF|=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}+1$，|BF|=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}+1$=$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}+1$．
∴3|AF|+4|BF|=$\frac{3{{y}_{1}}^{2}}{4}$+3+$\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}$+4=7+$\frac{3{{y}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}$≥7+2$\sqrt{12}$=7+4$\sqrt{3}$．
故答案为：$7+4\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．