Question

18．若函数f（x）=（x-2）²|x-a|在区间[2，4]恒满足不等式xf′（x）≥0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，5]
• B． [2，5]
• C． [2，+∞）
• D． （-∞，2]∪[5，+∞）

Answer 1

分析 写出分段函数f（x），然后分别利用导函数在[2，4]上大于等于0求解a的取值范围．

解答 解：∵在区间[2，4]恒满足不等式xf′（x）≥0，
∴f′（x）≥0恒成立
∵f（x）=（x-2）²|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}（x-a），x≥a}\\{（x-2）^{2}（a-x），x＜a}\end{array}\right.$，
当x≥a时，f（x）=（x-2）²（x-a），f′（x）=（x-2）（3x-2-2a）
要使f′（x）≥0在[2，4]上恒成立，则3x-2-2a≥0在[2，4]上恒成立，
即2a≤3x-2在[2，4]上恒成立，得2a≤4-2，解得a≤2，
当x＜a时，f（x）=（x-2）²（a-x），f′（x）=（x-2）（-3x+2+2a），
要使f′（x）≥0在[2，4]上恒成立，则-3x+2+2a≥0在[2，4]上恒成立，
即2a≥3x-2在[2，4]上恒成立，得2a≥3×4-2，解得a≥5，
综上，函数f（x）=（x-2）²|x-a|在区间[2，4]恒满足不等式xf′（x）≥0，则实数a的取值范围是a≤2或a≥5．
故选：D．

点评 本题考查了函数单调性的性质，考查了利用导数研究函数的单调性，着重考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．