Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，过F点的直线交抛物线于不同的两点A、B，且，点A关于轴的对称点为，线段的中垂线交轴于点D，则D点的坐标为

A. (2，0)B. (3，0)C. (4，0)D. (5，0)

Answer 1

【答案】D

【解析】

F的坐标为（1，0），设l的方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及抛物线的定义，求出k，即可求解直线的方程．再写出 的中垂线方程，令 即可求出D点坐标。

解：F的坐标为（1，0），

设的方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，

由题意知k≠0，且[﹣（2k2+4）]2﹣4k2k2＝16（k2+1）＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），∴ ，x1x2＝1，

由抛物线的定义知|AB|＝x1+x2+2＝8，

∴，∴k2＝1，即k＝±1，∴直线的方程为y＝±（x﹣1）．

，B（x2，y2），则其中点坐标为

直线 的斜率为 ，

则其中垂线斜率为

∴直线 的中垂线方程为

令 ，得 ， D点坐标为（5,0）

故选D.