Question

18．已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞1；
（2）当x＞0时，函数g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义，求得不等式f（x）＞1的解集．
（2）根据绝对值的意义，可得函数f（x）的最大值为3，再结合题意可得g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$（a＞0）的最小值大于3．利用基本不等式求得g（x）的最小值，从而求得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-2|-|x+1|表示数轴上的x对应点到2对应点的距离减去它到-1对应点的距离，
而0对应点到2对应点的距离减去它到-1对应点的距离正好等于1，
故不等式f（x）＞1的解集为{x|x＜0}．
（2）根据绝对值的意义，可得函数f（x）的最大值为3，
根据当x＞0时，函数g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$（a＞0）的最小值总大于函数f（x），
可得g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$（a＞0）的最小值大于3．
∵g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$=ax-1+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{a}$-1，∴2$\sqrt{a}$-1＞3，∴a＞4．

点评 本题主要考查绝对值的意义，基本不等式的应用，求函数的最值，属于中档题．