Question

13．在平面直角坐标系中，过点P（3，1）的直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数，α为l的倾斜角）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C₁：ρ=2cosθ，曲线C₂：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）若直线l与曲线C₁有且仅有一个公共点，求直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C₁交于不同两点C、D，与C₂交于不同两点A、B，这四点从左至右依次为B、D、C、A，求|AC|-|BD|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得C₁的直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数，α为l的倾斜角），消去参数t化为普通方程，利用直线与圆相切的充要条件可得：tanα=0或$tanα=\frac{4}{3}$．即可得出直线l的直角坐标方程，化为极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l与曲线C₁交于不同两点C、D，由（1）可知$0＜tanα＜\frac{4}{3}$．令两点C、D对应参数分别为t₁、t₂，联立l与C₁得，t²+（4cosα+2sinα）t+4=0，令两点A、B对应参数分别为t₃、t₄，联立l与C₂得，t²+（2cosα+2sinα）t-2=0，利用根与系数的关系可得：|AC|-|BD|=（t₃-t₁）-（t₂-t₄）=（t₃+t₄）-（t₁+t₂）即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，
代入可得C₁的直角坐标方程为：（x-1）²+y²=1，圆心为（1，0），半径为1，
直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数，α为l的倾斜角），化为普通方程为：y-1=tanα（x-3）．
由题l与C₁相切，则$\frac{{|{2tanα-1}|}}{{\sqrt{1+{{tan}^2}α}}}=1$，
解得，tanα=0或$tanα=\frac{4}{3}$．
∴直线l的普通方程为：y=1或4x-3y-9=0，
∴直线l的极坐标方程为：ρsinθ=1或4ρcosθ-3ρsinθ-9=0．
（Ⅱ）∵直线l与曲线C₁交于不同两点C、D，由（1）可知$0＜tanα＜\frac{4}{3}$．
令两点C、D对应参数分别为t₁、t₂，联立l与C₁得，（2+tcosα）²+（1+tsinα）²=1，
即，t²+（4cosα+2sinα）t+4=0，
∴t₁+t₂=-（4cosα+2sinα），
又C₂的直角坐标方程为：（x-2）²+y²=4，
令两点A、B对应参数分别为t₃、t₄，联立l与C₂得，（1+tcosα）²+（1+tsinα）²=4，
即，t²+（2cosα+2sinα）t-2=0，可得t₃+t₄=-（2cosα+2sinα），
而|AC|-|BD|=（t₃-t₁）-（t₂-t₄）=（t₃+t₄）-（t₁+t₂）=2cosα，
∴|AC|-|BD|的取值范围是$（\frac{6}{5}，2）$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．