Question

7．已知函数f（x）=alnx+$\frac{2x-1}{x}$（a∈R），g（x）=x²e^mx（m∈R），e=2.71828…）．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线与直线4x-y=0垂直，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且m∈[-2，-1]，求证：对任意x₁、x₂∈[1，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出a的值，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于f （x）_min≥g （x）_max，根据函数的单调性，分别求出其最值，证出结论即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{ax+1}{{x}^{2}}$，
由已知，f′（2）=$\frac{2a+1}{4}$=-$\frac{1}{4}$，∴a=-1，∴f′（x）=$\frac{-x+1}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，1]时，f′（x）≥0，f （x）是增函数，
当x∈[1，+∞）时，f′（x）≤0，f （x）是减函数，
∴函数f （x）的单调递增区间是（0，1]，单调递减区间是[1，+∞）．
（2“对任意x₁、x₂∈[1，2]，f （x₁）≥g （x₂）恒成立”等价于“x∈[1，2]，f （x）_min≥g （x）_max”
∵a＞0，x∈[1，2]，∴f′（x）＞0，故f （x）在[1，2]上是增函数
∴f （x）_min=f （1）=1，
g′（x）=（mx+2）xe^mx，
∵m∈[-2，-1]，∴-$\frac{2}{m}$∈[1，2]，
∴在[1，-$\frac{2}{m}$]上，g′（x）≥0，在（-$\frac{2}{m}$，2]上，g′（x）＜0，
因此，g （x）在[1，-$\frac{2}{m}$]上单调递增，在（-$\frac{2}{m}$，2]上单调递减，
故g（x）的最大值是g（-$\frac{2}{m}$）=$\frac{4}{{{m}^{2}e}^{2}}$＜1，
∴对任意x₁、x₂∈[1，2]，f （x₁）≥g （x₂）恒成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．