Question

9．已知曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{y=sinθ}\\{x=2cosθ}\end{array}\right.$（其中参数θ∈[0，π]），直线l：y=x+b．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程并指出它的轨迹；
（Ⅱ）若曲线C与直线l只有一个公共点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （I）对于曲线C：利用sin²θ+cos²θ=1即可把参数方程化为普通方程，根据θ∈[0，π]，可得0≤y≤1，它的轨迹是焦点在x轴上的上半椭圆．
（II）对b分类讨论：当直线l经过点（2，0）时，b=-2，此时直线与椭圆只有一个公共点．当直线l经过点（-2，0）时，b=2，此时直线l与椭圆有两个公共点．当-2≤b＜2时，满足直线l与椭圆只有一个公共点．设直线y=x+b与椭圆相切时只有一个公共点．

解答 解：（I）对于曲线C：∵sin²θ+cos²θ=1，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，∵θ∈[0，π]，∴sinθ∈[0，1]，∴0≤y≤1，
∴曲线C的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，0≤y≤1，它的轨迹是焦点在x轴上的上半椭圆．
（II）当直线l经过点（2，0）时，b=-2，此时直线与椭圆只有一个公共点．当直线l经过点（-2，0）时，b=2，
此时直线l与椭圆有两个公共点．当-2≤b＜2时，满足直线l与椭圆只有一个公共点．
设直线y=x+b与椭圆相切，
把y=x+b代入椭圆方程可得：x²+4（x+b）²=4，
化为5x²+8bx+4b²-4=0．
令△=64b²-20（4b²-4）=0，
解得b=$\sqrt{5}$$（-\sqrt{5}舍去）$，此时直线l与椭圆只有一个公共点．
综上可得：b∈[-2，2）∪$\{\sqrt{5}\}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程用、直线与椭圆相交相切问题，考查了数形结合方法、分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．