Question

10．如图，已知D是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，AB=$\sqrt{6}$，P是平面ABC外一点，PC⊥平面ABC，DE⊥BP于E，DE=1．
（1）求证：AD⊥平面PBC；
（2）平面ABP与平面CPB所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出PC⊥AD，AD⊥BC，由此能证明AD⊥平面PBC．
（2）求出BC=2$\sqrt{3}$，PB=3$\sqrt{2}$，PA=2$\sqrt{3}$，连结AE，得∠AED即为平面ABP与平面CPB所成二面角的平面角，由此能求出平面ABP与平面CPB所成二面角的大小．

解答 证明：（1）∵PC⊥面ABC，PD?平面ABC，∴PC⊥AD，
又∵D是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，∴AD⊥BC，
∵PC∩BC=C，∴AD⊥平面PBC．
解：（2）∵D是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，AB=$\sqrt{6}$，
∴BC=$\sqrt{6+6}$=2$\sqrt{3}$，
∵PC⊥平面ABC，DE⊥BP于E，DE=1，∴Rt△PCB∽Rt△EDB，
∴$\frac{DE}{PC}=\frac{BE}{BC}$，∴PC=$\frac{DE•BC}{BE}$=$\frac{1×2\sqrt{3}}{\sqrt{3-1}}$=$\sqrt{6}$，
∴PB=$\sqrt{6+12}$=3$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{6+6}$=2$\sqrt{3}$，
连结AE，
∵AD⊥平面PBC，DE⊥PB，∴∠AED即为平面ABP与平面CPB所成二面角的平面角，
AD=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{3+1}$=2，
sin∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠AED=60°．
∴平面ABP与平面CPB所成二面角的大小为60°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．