Question

20．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，直线y=k（x-1）（k≠0）经过E的长轴的一个四等分点，且与E交于P，Q两点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）记线段PQ为直径的圆为⊙M，判断点A（2，0）与⊙M的位置关系，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知，2c=2$\sqrt{3}$，2a=4，b²=a²-c²，即可求得a和b的值，写出椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x₁+x₂和x₁•x₂，并代入直线方程求得y₁•y₂，表示出$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{AQ}$，利用向量数量积的坐标表示求得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$＞0，因此点A在⊙M外．

解答 解：（Ⅰ）依题意得，2c=2$\sqrt{3}$，2a=4，即c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，（2分）
∴b²=a²-c²=1，（3分）
所以E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．（4分）
（Ⅱ）点A在⊙M外．理由如下：（5分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，（6分）
所以，△=（-8k²）²-4（1+4k²）（4k²-4）=48k²+16＞0，
所以x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．（8分）
因为$\overrightarrow{AP}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{AQ}$=（x₂-2，y₂），
所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁•y₂，
=（1+k²）x₁•x₂-（2+k²）（x₁+x₂）+4+k²，
=$\frac{4（{k}^{2}+1）（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}（2+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$+4+k²，（10分）
=$\frac{{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
因为k≠0，
所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$＞0．
∴cos∠PAQ＞0，
∴∠PAQ为锐角，
所以点A在⊙M外．（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的基本性质，点与圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想等，属于中档题．