Question

12．求下列方程的解集：
（1）sin5x=sin7x；
（2）cos（x-$\frac{π}{4}$）=cos2x；
（3）sin2x=cos3x；
（4）tan3x•tan（x+$\frac{π}{4}$）=1．

Answer 1

分析 根据三角函数的定义与性质，利用诱导公式，进行化简求解即可．

解答 解：（1）∵sin5x=sin7x，
∴5x+2kπ=7x或-5x+π+2kπ=7x，k∈Z，
解得x=kπ或x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{6}$，k∈Z，
∴方程的解集为{x|x=kπ或x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{6}$，k∈Z}；
（2）∵cos（x-$\frac{π}{4}$）=cos2x，
∴2kπ+（x-$\frac{π}{4}$）=2x或2kπ-（x-$\frac{π}{4}$）=2x，k∈Z，
解得x=2kπ-$\frac{π}{4}$或x=$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴方程的解集为{x|x=2kπ-$\frac{π}{4}$或x=$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z}；
（3）∵sin2x=cos3x，
∴cos（$\frac{π}{2}$-2x）=cos3x，
∴2kπ+（$\frac{π}{2}$-2x）=3x或2kπ-（$\frac{π}{2}$-2x）=3x，k∈Z，
解得x=$\frac{2kπ}{5}$+$\frac{π}{10}$或x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z；
∴方程的解集为{x|x=$\frac{2kπ}{5}$+$\frac{π}{10}$或x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z}；
（4）∵tan3x•tan（x+$\frac{π}{4}$）=1，
∴tan3x=$\frac{1}{tan（x+\frac{π}{4}）}$，
即tan3x=tan[$\frac{π}{2}$-（x+$\frac{π}{4}$）]，
即tan3x=tan（$\frac{π}{4}$-x），
∴3x=kπ+（$\frac{π}{4}$-x），k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{4}$+$\frac{π}{16}$，k∈Z，
∴方程的解集为{x|x=$\frac{kπ}{4}$+$\frac{π}{16}$，k∈Z}．

点评 本题考查了三角函数的定义与性质以及利用诱导公式的应用问题，也考查了解三角方程的应用问题，是综合性题目．