Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x＜3}\\{\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{10}{3}x+8，x≥3}\end{array}\right.$，若存在实数a、b、c、d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（21，24），a+b+c+d的取值范围是（12，$\frac{40}{3}$）．

Answer 1

分析 由题意可得-log₃a=log₃b=$\frac{1}{3}$ c²-$\frac{10}{3}$c+8=$\frac{1}{3}$d²-$\frac{10}{3}$d+8，可得 log₃（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24．由此求得abcd的范围；由b=$\frac{1}{a}$，c+d=10，可得a+b+c+d=10+a+$\frac{1}{a}$，由a∈（$\frac{1}{3}$，1），运用单调性可得所求范围．

解答 解：由题意可得-log₃a=log₃b=$\frac{1}{3}$ c²-$\frac{10}{3}$c+8=$\frac{1}{3}$ d²-$\frac{10}{3}$d+8，
可得log₃（ab）=0，故ab=1．
结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，
令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．
令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．
故有21＜abcd＜24，
当-log₃a=1，解得a=$\frac{1}{3}$，即有$\frac{1}{3}$＜a＜1．
由x≥3时图象关于直线x=5对称，可得c+d=10．
则a+b+c+d=a+$\frac{1}{a}$+2×5=10+a+$\frac{1}{a}$，
由a+$\frac{1}{a}$在（$\frac{1}{3}$，1）递减，可得a+$\frac{1}{a}$∈（2，$\frac{10}{3}$），
即有a+b+c+d∈（12，$\frac{40}{3}$）．
故答案为：（21，24），（12，$\frac{40}{3}$）．

点评 本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，注意运用数形结合的思想方法，以及函数的单调性，属于中档题．