Question

1．已知．命题s：函数f（x）=ln（mx²-2x+1）的定义域为全体实数；
命题t：方程x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内若s∨t为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据f（x）定义域为全体实数，可得mx²-2x+1＞0，方程x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内，利用根的分布建立不等式求解m的范围．要求s∨t为真命题，先求解出s∧t为假命题时，实数m的取值范围，即可得到s∨t为真命题实数m的取值范围．

解答 解：由题意，函数f（x）=ln（mx²-2x+1）的定义域为全体实数；
∴mx²-2x+1＞0对一切实数x恒成立，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{4-4m＜0}\end{array}\right.$，
解得：m＞1．
令g（x）=x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内．
可得：$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（1）＜0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2m＜2}\\{3m＞2}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{2}{3}＜m＜1$．
当s∧t为假命题时：则s为假，且t也为假．
即$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{1≤m或m≤\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴得m的范围是（-∞，$\frac{2}{3}$]∪{1}
故得s∨t为真命题，实数m的取值范围为（$\frac{2}{3}，1$）∪（1，+∞）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据方程的根与零点零点的关系，根的分布建立不等式是解答本题的关键．要求s∨t为真命题时m的范围，可以通过求解出s∧t为假命题来解决．属于中档题．