Question

如图，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，CC₁=2，AB=

2

，∠BCC₁=

π

3

（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）当E为CC₁的中点时，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由余弦定理得BC₁=

3

，从而C₁B⊥BC，由此能证明C₁B⊥平面ABC．
（2）取EB₁的中点D，A₁E的中点F，BB₁的中点N，AB₁的中点M，连DF，则DF∥A₁B₁，连DN，则DN∥BE，连MN，则MN∥A₁B₁，连MF，则MF∥BF，且MNDF为矩形，MD∥AE，从而∠MDF为所求二面角的平面角，由此能求出二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

解答： （1）证明：∵AB⊥侧面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁，
在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC1=

π

3

，
由余弦定理有：
BC₁=

1+4-2×2×cos π 3

=

3

，
故有BC2+BC12=CC12．
∴C₁B⊥BC，而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC．
（2）解：取EB₁的中点D，A₁E的中点F，
BB₁的中点N，AB₁的中点M，
连DF，则DF∥A₁B₁，连DN，则DN∥BE，
连MN，则MN∥A₁B₁，连MF，则MF∥BF，且MNDF为矩形，
MD∥AE，又∵A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁，
故∠MDF为所求二面角的平面角，
在Rt△DFM中，∵△BCE为正三角形，
∴DF=

1

2

A1B1=

2

2

，
∴MF=

1

2

BE=

1

2

CE=

1

2

，
∴tan∠MDF=

1 2

2 2

=

2

2

．
∴二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值为

2

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．