Question

8．已知函数$f（x）=\frac{（a-1）x+a}{{b{x^2}+c}}$（a，b，c为常数）．
（1）当b=1，c=0时，解关于x的不等式f（x）＞1；
（2）当b=c＞0，a=2时，若f（x）＜1对于x＞0恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当b=1，c=0时，化简f（x）＞1，通过①当a＜-1时，②当a=-1时，③当-1＜a≤0时，④当a＞0时，求出原不等式的解集即可．
（2）当b=c，a=2时，通过$f（x）＜1?\frac{x+2}{{b{x^2}+b}}＜1$，得到b的不等式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）当b=1，c=0时，f（x）＞1?x²-（a-1）x-a＜0（x≠0）；
?（x-a）（x+1）＜0讨论：①当a＜-1时，原不等式的解集为（a，-1）；
②当a=-1时，原不等式的解集为∅；
③当-1＜a≤0时，原不等式的解集为（-1，a）；
④当a＞0时，原不等式的解集为（-1，0）∪（0，a）．
（2）当b=c，a=2时，$f（x）＜1?\frac{x+2}{{b{x^2}+b}}＜1$，$?b＞\frac{x+2}{{{x^2}+1}}（x＞0）$；
令t=x+2，则$g（x）=\frac{x+2}{{{x^2}+1}}=\frac{t}{{{{（t-2）}^2}+1}}=\frac{1}{{t+\frac{5}{t}-4}}≤\frac{1}{{2\sqrt{5}-4}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}+1$；
当且仅当t=$\sqrt{5}$即x=$\sqrt{5}-2$时取等号．   
故$b＞\frac{{\sqrt{5}}}{2}+1$．

点评 本题考查函数的最值的求法，不等式的应用，基本不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．