Question

18．已知函数f（x）=ax²+lnx-x，a∈R且a≠0．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）当x＞1时，f（x）＜2ax恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；
（2）令g（x）=f（x）-2ax，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=-1时，函数f（x）=-x²+lnx-x，x∈（0，+∞），
$f'（x）=-2x+\frac{1}{x}-1=-\frac{{2{x^2}+x-1}}{x}=-\frac{{（{2x-1}）（{x+1}）}}{x}$，
当f'（x）＞0时，$0＜x＜\frac{1}{2}$，当f'（x）＜0时，$x＞\frac{1}{2}$，
所以函数f（x）的单调增区间为$（{0，\frac{1}{2}}）$，单调减区间为$（{\frac{1}{2}，+∞}）$，
当$x=\frac{1}{2}$时，函数f（x）取极大值$f（{\frac{1}{2}}）=-\frac{3}{4}-ln2$，无极小值．
（2）令g（x）=f（x）-2ax=ax²+lnx-（1+2a）x，
根据题意，当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0恒成立，
$g'（x）=2ax-（{2a+1}）+\frac{1}{x}=\frac{{（{2ax-1}）（{x-1}）}}{x}$，
①当$0＜a＜\frac{1}{2}$，$x∈（{\frac{1}{2a}，+∞}）$时，g'（x）＞0恒成立，
所以g（x）在$（{\frac{1}{2a}，+∞}）$上是增函数，且$g（x）∈（{g（{\frac{1}{2a}}），+∞}）$，所以不符合题意；
②当$a≥\frac{1}{2}$，x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0恒成立，
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，且g（x）∈（g（1），+∞），所以不符合题意；
③当a＜0时，x∈（1，+∞），恒有g'（x）＜0，故g（x）在（1，+∞）上是减函数，
于是“g（x）＜0对任意x∈（1，+∞）都成立”的充要条件是g（1）≤0，
即a-（2a+1）≤0，解得a≥-1，故-1≤a＜0，
综上，a的取值范围是[-1，0）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．