Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA⊥底面ABC，且侧棱和底面边长均为2，D是BC的中点
（1）求证：AD⊥平面BB₁CC₁；
（2）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（3）求三棱锥C₁-ADB₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理、等边三角形的性质即可证明；
（2）连接A₁C交AC₁于点O，连接OD，利用三角形的中位线定理与线面平行的判定定理即可得出；
（3）由于VC1-ADB1=VA-B1DC1，利用三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答： （1）证明：∵CC₁⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
∴CC₁⊥AD
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴BC⊥AD，又BC∩CC₁=C，
∴AD⊥平面BB₁CC₁；
（2）证明：如图，连接A₁C交AC₁于点O，连接OD
由题得四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点，
又D为BC的中点，
∴A₁B∥OD
∵OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁
∴A₁B∥平面ADC₁．
（3）解：∵VC1-ADB1=VA-B1DC1，S△B1DC1=

1

2

×2×2，AD=

3

，
∴VC1-ADB1=VA-B1DC1=

1

3

S△B1DC1×AD=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

．

点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、等边三角形的性质、三角形的中位线定理与线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．