Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点．
（1）求证：OM∥平面PAB；  
（2）平面PBD⊥平面PAC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；
（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC．

解答： 证明：（1）∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，
∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，
∵OM?平面PBD，PB?平面PBD，
∴OM∥平面PAB；
（2）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．

点评：本小题主要考查空间线面关系等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．