Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求平面ADC₁与ABA₁所成二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接A₁C，交C₁A于E，证明：DE∥A₁B，即可证明A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ABA₁的一个法向量、平面ADC₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADC₁与ABA₁所成二面角的平面角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接A₁C，交C₁A于E，则E为A₁C的中点，又点D是BC的中点，
所以DE∥A₁B，…（3分）
又DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，故A₁B∥平面ADC₁．          …（5分）
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系A-xyz，

则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C₁（0，2，4），…（6分）

AC

=（0，2，0）是平面ABA₁的一个法向量，…（7分）
设平面ADC₁的法向量

m

=（x，y，z）．
∵

AD

=（1，1，0），

AC1

=（0，2，4），
∴

x+y=0 2y+4z=0

．
取z=1，得y=-2，x=2
∴平面ADC₁的法向量

m

=（2，-2，1），…（9分）
平面ADC₁与ABA₁所成的二面角为θ，
∴|cosθ|=|

-4

2×3

|=

2

3

．…（11分）
从而sinθ=

5

3

，即平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值为

5

3

  …（13分）

点评：本题考查线面平行，考查平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．