Question

设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂₇+27³S₉=（3⁹+1）S₁₈，则数列{a_n}的公比为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：分别设出等比数列的首项和公比，分类写出等比数列的前n项和，分析q=1时不成立，当q≠1时由S₂₇+27³S₉=（3⁹+1）S₁₈求解q的值．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
当q=1时，有27a1+273×9a1=(39+1)×18a1，
此式只有a₁=0时成立，不合题意；
当q≠1时，
则S9=

a1(1-q9)

1-q

，S18=

a1(1-q18)

1-q

，S27=

a1(1-q27)

1-q

，
代入S₂₇+27³S₉=（3⁹+1）S₁₈，得

a1(1-q27)

1-q

+273×

a1(1-q9)

1-q

=(39+1)×

a1(1-q18)

1-q

，
整理得：q¹⁸-（3⁹+1）q⁹+3⁹=0．
解得：q=3．
故答案为：3．

点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的计算能力，是中档题．