Question

如图，在各棱长都相等且底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，E为PD的中点．
（1）画出过A、E两点且与直线DC平行的平面与四棱锥的截面，并证明你的画法是正确的；
（2）若（1）中截面与PC交于点F，求异面直线DC与AF所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PC中点F，则过A、E两点且与直线DC平行的平面为平面AEFB，四棱锥的截面为P-ABEF．
（2）由DC∥AB，知∠BAF就是异面直线DC与AF所成角，由已知条件，结合勾股定理能求出异面直线DC与AF所成角的大小．

解答： 解：（1）取PC中点F，连结AE，EF，BF，
则过A、E两点且与直线DC平行的平面为平面AEFB，
四棱锥的截面为P-ABEF．
∵E是PD的中点，F是PC的中点，
∴EF∥DC，
∵CD不包含于平面AEFB，EF?平面AEFB，
∴DC∥平面AEFB．
（2）设四棱锥的棱长为a，
∵四棱锥P-ABCD中，各棱长都相等且底面为正方形，E为PD的中点，
∴AC=

a2+a2

=

2

a，BF=

a2-( 1 2 a)2

=

3

2

a，
∵PA=PC=a，∴PA²+PC²=AC²，
∴∠APC=90°，∴AF=

a2+( 1 2 a)2

=

5

2

a，
∴cos∠BAF=

AF2+AB2-BF2

2AF•AB

=

5 4 a2+a2- 3 2 a2

5 2 a•a

=

3 5

10

，
∵DC∥AB，∴∠BAF就是异面直线DC与AF所成角，
∴异面直线DC与AF所成角为arccos

3 5

10

．

点评：本题考查截面的作法及证明，考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题．