Question

7．若α，β都是锐角，且cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin（α一β）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，则cosβ=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知角的范围结合已知求出sinα，cos（α-β）的值，然后利用两角和与差的余弦得答案．

解答 解：∵0＜α，β$＜\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{2}＜α-β＜\frac{π}{2}$，
又cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin（α一β）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos（α一β）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}$$+\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”方法的运用，是中档题．