Question

1．如图，已知l₁，l₂，l₃，…l_n为平面内相邻两直线距离为1的一组平行线，点O到l₁的距离为2，A，B是l₁的上的不同两点，点P₁，P₂，P₃，…P_n分别在直线l₁，l₂，l₃，…l_n上．若$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=x_n$\overrightarrow{OA}$+y_n$\overrightarrow{OB}$（n∈N^*），则x₁+x₂+…+x₅+y₁+y₂+…+y₅的值为10．

Answer 1

分析 由题意作图，从而由三点共线的性质解得x₁+y₁=1，x₂+y₂=$\frac{3}{2}$，…，从而解得．

解答 解：由题意作图象如下，
，
∵$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=x₁$\overrightarrow{OA}$+y₁$\overrightarrow{OB}$，且A，B，P₁三点共线，
∴x₁+y₁=1，
∵A₁，B₁，P₂，三点共线，
∴存在x+y=1，使$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=x$\overrightarrow{O{A}_{1}}$+y$\overrightarrow{O{B}_{1}}$，
∵$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OB}$，
又∵$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=x₂$\overrightarrow{OA}$+y₂$\overrightarrow{OB}$，
∴x₂+y₂=$\frac{3}{2}$，
同理可得，
x₃+y₃=2，x₄+y₄=$\frac{5}{2}$，x₅+y₅=3，
故x₁+x₂+…+x₅+y₁+y₂+…+y₅=1+$\frac{3}{2}$+2+$\frac{5}{2}$+3=10；
故答案为：10．

点评 本题考查了学生的作图能力及向量的共线定理的应用．