Question

6．规定：点P（x，y）按向量$\overrightarrow n=（a，b）$平移后的点为Q（x+a，y+b）．若函数$g（x）=sin\frac{1}{2}x$的图象按向量$\overrightarrow{m}$=（j，k）且|j|$＜\frac{p}{2}$平移后的图象对应的函数是$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$+1．
（1）试求向量$\overrightarrow m$的坐标；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（2A）+2cos（B+C）=1，
①求角A的大小；   ②若a=6，求b+c的取值范围．
另外：最后一小题也可用“余弦定理结合基本不等式”求解．

Answer 1

分析 （1）由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（2）①利用同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式，求得tanA的值，可得A的值．
②利用正弦定理，三角恒等变换化简b+c为 12sin（B+$\frac{π}{6}$），再利用正弦函数的定义域和值域，求得 12sin（B+$\frac{π}{6}$）的值域．

解答 解：（1）函数$g（x）=sin\frac{1}{2}x$的图象按向量$\overrightarrow{m}$=（j，k）且|j|$＜\frac{p}{2}$平移后的图象对应的函数是$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$+1=sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）+1．
∴$\overrightarrow{m}$=（$\frac{π}{3}$，1）．
（2）①在△ABC中，
∵已知f（2A）+2cos（B+C）=sin$\frac{1}{2}$（2A+$\frac{π}{3}$）+1-2cosA=1，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）-2cosA=0，
即sinAcos$\frac{π}{6}$+cosAsin$\frac{π}{6}$=2cosA，∴tanA=$\sqrt{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
②△ABC中，∵由正弦定理可得$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{6}{sin\frac{π}{3}}$，∴b=4$\sqrt{3}$sinB，c=4$\sqrt{3}$sinC，
∴b+c=4$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=4$\sqrt{3}$•[sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）]
=4$\sqrt{3}$•（sinB+sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB）=4$\sqrt{3}$（$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）
=12•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）=12sin（B+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（ $\frac{1}{2}$，1]，∴b+c=12sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（6，12]．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦定理，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．