Question

7．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{2}^{x}，x≤0}\\{\frac{x}{a}-lnx，x＞0}\end{array}\right.$，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为e．

Answer 1

分析 根据函数图象可知f（x）在（-∞，0]上有1个零点，故f（x）在（0，+∞）上有1个零点，根据导数的几何意义求出a即可．

解答 解：当x≤0时，令f（x）=0得2^x=-x，
作出y=2^x与y=-x的函数图形如图所示：

由图象可知f（x）在（-∞，0]上有唯一一个零点．
∵f（x）有两个零点，
∴f（x）在（0，+∞）上有唯一一个零点．

∴直线y=$\frac{x}{a}$与曲线y=lnx相切，设切点坐标为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=\frac{{x}_{0}}{a}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=e}\\{{y}_{0}=1}\\{a=e}\end{array}\right.$．
故答案为：e．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．