Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,对数的运算性质

专题：导数的综合应用

分析：由导数求出函数在点（1，1）处的切线方程，得到切线在x轴上的截距，然后利用对数的运算性质化简
log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂，把数列{x_n}累积后代入得答案．

解答： 解：由y=xⁿ⁺¹，得y′=（n+1）xⁿ，
∴y′|_x=1=n+1，
则曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
取y=0得：x=

n

n+1

．
则log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log₂₀₁₃（x₁x₂…x₂₀₁₂）=log2013(

1

2

•

2

3

…

2012

2013

)=log2013

1

2013

=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了对数的运算性质，是中档题．