Question

等比数列{a_n}中，a₂＞a₃=1，则使不等式 （a1-

1

a1

）+（a2-

1

a2

）+（a3+

1

a3

）+…+（an-

1

an

）＞0成立的最大自然数n是

 

．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：设等比数列{a_n}的公比为q，由题意判断出q＜1，根据等比数列的求和公式表示出不等式的左边，化简后得关于n的不等式，由q的范围求出n的范围，再求出对应的最大值．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₂＞a₃=1得，a1q2=1，解得a1=

1

q2

，且q＜1，
所以（a1-

1

a1

）+（a2-

1

a2

）+（a3+

1

a3

）+…+（an-

1

an

）
=

a1(1-qn)

1-q

-

1 a1 (1- 1 qn )

1- 1 q

=

1 q2 (1-qn)

1-q

-

q2(1- 1 qn )

1- 1 q

=

(1-qn)

1-q

（

1

q2

-

1

qn-3

），
因为q＜1，所以

(1-qn)

1-q

＞0，
因为不等式（a1-

1

a1

）+（a2-

1

a2

）+（a3+

1

a3

）+…+（an-

1

an

）＞0，
所以

1

q2

-

1

qn-3

＞0，则

1

q2

＞

1

qn-3

，即q²＜q^n-3，
所以n-3＜2，解得n＜5，则不等式成立的最大自然数n是4，
故答案为：4．

点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及利用指数函数的性质求解指数不等式，考查化简计算能力，属中档题．