Question

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，已知曲线C的极坐标方程为

1

ρ2

=

cos2θ

4

+sin²θ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为参数方程；
（2）已知曲线C上两点A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）（θ∈[0，π]），求△AOB面积的最小值及此时θ的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）求得曲线C的直角坐标方程为

x2

4

+y2=1，从而求得它的参数方程．
（2）由于OA⊥OB，可得S△AOB=

1

2

ρ1ρ2．求得

1

ρ12•ρ22

 的范围，可得ρ₁•ρ₂的范围，可得△AOB面积的最小值及此时θ的值．

解答： 解：（1）求得曲线C的直角坐标方程为

x2

4

+y2=1，可得它的参数方程为

x=2cosα y=sinα

，（α为参数）．
（2）由于OA⊥OB，∴S△AOB=

1

2

ρ1ρ2．
∵

1

ρ 2 1 ρ 2 2

=(

cos2θ

4

+sin2θ)(

sin2θ

4

+cos2θ)=

17cos2θsin2θ

16

+

sin4θ+cos4θ

4

 
=

17cos2θsin2θ

16

+

(sin2θ+cos2θ)2-2cos2θsin2θ

4

=

9sin22θ

64

+

1

4

∈[

1

4

，

25

64

]，
∴ρ₁•ρ₂∈[

8

5

，2]，
故当且仅当sin2θ=1时，即θ=

π

4

时，△AOB面积取得最小值为

4

5

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，三角恒等变换，属于基础题．