Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线，过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，，的中点为，的中点为，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据题意列出方程组，解出和的值即可得解；

（2）设直线的方程为，，则直线方程为，然后分别联立直线和椭圆的方程，以及直线和椭圆的方程，再结合韦达定理得到，从而得到点的坐标，因此，最后结合均值不等式即可求得面积最大值．

解：（1）由题可知，，

解得，

故椭圆的标准方程为．

（2）设直线的方程为，，

联立，

消去得，

所以，

因为的中点为，

所以，，

因为直线的斜率为，且与的斜率乘积为，

所以直线方程为，

同理可得，，

所以，

所以的中点为．

因此．

当且仅当，即时取等号，

故△OMN面积的最大值为．