Question

【题目】已知直线：与抛物线切于点，直线：过定点Q，且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.

（1）求抛物线的方程及点的坐标；

（2）设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为，那么是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），（1，2）；（2）存在，

【解析】

（1）由直线恒过点点及抛物线C上的点到点Q的距离与到准线的距离之和的最小值为，求出抛物线的方程，再由直线与抛物线相切，即可求得切点的坐标；

（2）直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线PA，PB的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数使得斜率之和为定值.

（1）由题意，直线变为2x+1-m(2y+1)=0，所以定点Q的坐标为

抛物线的焦点坐标，

由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为，

可得，解得或（舍去），

故抛物线C的方程为

又由消去y得，

因为直线与抛物线C相切，所以，解得，

此时，所以点P坐标为（1，2）

（2）设存在满足条件的实数，点，

联立，消去x得，

则，

依题意，可得，解得m<-1或，

由（1）知P（1，2），

可得，

同理可得，

所以

=，

故存在实数=满足条件.