Question

【题目】已知，在三棱柱中，，，，如图.

（1）求证：平面；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）推导出四边形是菱形，从而，由，，得，由此能证明平面．

（2）由，得平面，从而平面，设，分别以直线，为，轴，以过点且平行于的直线（过的中点）为轴，建立空间直角坐标系，由此能求出平面与平面所成锐二面角的余弦．

解：（1）∵，∴四边形是菱形，∴.

∵，，∴.

∵和是平面内两相交直线，

∴平面.

（2）∵，和是平面两相交直线，

∴平面.∴平面.

设，分别以直线、为、轴，以过点且平行于的直线（过的中点）为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，∵，

∴，，.

∴，.

设是平面的一个法向量，则，，

即，，∴.

不妨取，得.

由以上可知，平面平面，

设中点为，则且平面，.

∴.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦为.