Question

【题目】如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，、分别是、的中点，点在线段上，且.

（1）求证：不论取何值，总有；

（2）当时，求平面与平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，通过可证明出；

（2）分别求出平面的一个法向量和平面的法向量，由此利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．

以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，.

（1），，

，

.

，，

因此，无论取何值，；

（2）当时，，，，

而平面的法向量，设平面的法向量为，

则，解得，则，

设为平面与平面所成的锐二面角，则.

因此，平面与平面所成二面角的余弦值是.