Question

15．如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（$\overrightarrow{PA}+\overline{PB}$）•$\overline{PC}$的最小值等于（　　）

• A． 2
• B． -1
• C． -2
• D． 0

Answer 1

分析 由O为AB的中点，得出$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，求出（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PC}$；由|$\overrightarrow{PO}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=2为定值，求出（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值．

解答 解：因为O为AB的中点，
所以$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，
从而（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PC}$；
又|$\overrightarrow{PO}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=2为定值，
所以当且仅当|$\overrightarrow{PO}$|=|$\overrightarrow{PC}$|=1，
即P为OC的中点时，（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$取得最小值是-2．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算和基本不等式的应用问题，是基础题目．