Question

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S-ABC的体积为

4 3

3

，求球O的表面积．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：根据题意作出图形，欲求球的半径r．利用截面的性质即可得到三棱锥S-ABC的体积可看成是两个小三棱锥S-ABO和C-ABO的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，求出r，从而求球O的表面积．

解答： 解：根据题意作出图形：
设球心为O，球的半径r．
∵SC⊥OA，SC⊥OB，∴SC⊥平面AOB，
三棱锥S-ABC的体积可看成是两个小三棱锥S-ABO和C-ABO的体积和．
∴V_{三棱锥S-ABC}=V_{三棱锥S-ABO}+V_{三棱锥C-ABO}=

1

3

×

3

4

×r²×r×2=

4 3

3

，
∴r=2，
∴球O的表面积为4π×2²=16π．

点评：本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S-ABC的体积看成是两个小三棱锥S-ABO和C-ABO的体积和．