Question

已知x=0是函数f（x）=（x²+bx）e^ax（a≥0）的一个极值点．
（1）求实数b的值；
（2）若y=f（x）-m恰有一零点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=（2x+b）e^ax+a（x²+bx）e^ax=（ax²+（ab+2）x+b）e^ax，代入f′（0）=b=0；
（2）y=f（x）-m恰有一零点转化为y=f（x）与y=m有且只有一个交点，从而讨论a的不同取值，从而求m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²+bx）e^ax，
∴f′（x）=（2x+b）e^ax+a（x²+bx）e^ax
=（ax²+（ab+2）x+b）e^ax，
∴f′（0）=b=0，
即b=0；
（2）故f（x）=x²e^ax，f′（x）=（ax²+2x）e^ax，
①若a=0，则f（x）=x²，
则若使y=f（x）-m恰有一零点，
则m=0；
②若a＞0，则f（x）=x²e^ax有两个极值点，
f_极大值（x）=f（-

2

a

）=

4

a2e2

，
f_极小值（x）=f（0）=0，
故若使y=f（x）-m恰有一零点，
则m＞

4

a2e2

或m＜0．

点评：本题考查了导数的综合应用及极值的应用，同时考查了函数的零点与函数图象的交点的关系，属于中档题．