Question

15．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₃x]=4，若x₀是方程f（x）-2f'（x）=3的一个解，且${x_0}∈（a，a+1），a∈{N^*}$，则实数a=2．

Answer 1

分析 令t=f（x）-log₃x，则f（x）=t+log₃x，f（t）=4，解出t得到f（x）的解析式，令g（x）=f（x）-2f'（x）-3，计算g（a）的值，a∈N，根据零点的存在性定理得出答案．

解答 解：令t=f（x）-log₃x，则f（x）=t+log₃x，
∵f[f（x）-log₃x]=4，∴f（t）=4，即t+log₃t=4，解得t=3．
∴f（x）=3+log₃x，f′（x）=$\frac{1}{xln3}$，
令g（x）=f（x）-2f'（x）-3=log₃x-$\frac{2}{xln3}$，则g′（x）=$\frac{1}{xln3}+\frac{2}{{x}^{2}ln3}$=$\frac{1}{xln3}（1+\frac{2}{x}）$＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵g（2）=log₃2-$\frac{1}{ln3}$=log₃2-log₃e=log₃$\frac{2}{e}$＜0，g（3）=1-$\frac{2}{3ln3}$＞0，
∴g（x）在（2，3）上存在唯一一个零点，即2＜x₀＜3．
故答案为2．

点评 本题考查了函数单调性，零点的存在性定理，求出f（x）的解析式是解题关键，属于中档题．