Question

11．设f（x）=$\frac{1}{1+{2}^{x}}$．
（1）求f（a）+f（-a）的值；
（2）求f（-100）+f（-99）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100）

Answer 1

分析 （1）利用函数性质及有理数指数幂运算法则能求出f（a）+f（-a）=1．
（2）由f（a）+f（-a）=1，f（0）=$\frac{1}{2}$，能求出f（-100）+f（-99）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100）．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{1+{2}^{x}}$，
∴f（a）+f（-a）=$\frac{1}{1+{2}^{a}}+\frac{1}{1+{2}^{-a}}$
=$\frac{1}{1+{2}^{a}}+\frac{{2}^{a}}{{2}^{a}+1}$=1．
（2）∵f（a）+f（-a）=1，f（x）=$\frac{1}{1+{2}^{x}}$，
∴f（-100）+f（-99）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100）
=100×1+f（0）
=100+$\frac{1}{1+{2}^{0}}$
=$\frac{201}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．