Question

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为

3

的直线l交y轴于点E（0，1）．
（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：直线与圆

分析：（I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；由斜率为

3

的直线l交y轴于点E（0，1）即可得出直线的参数方程．
（II）将

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

代入（x-1）²+（y-1）²=2得t²-t-1=0，利用根与系数的关系、直线参数的意义即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），
即x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2．
l的参数方程为

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t为参数，t∈R），
（Ⅱ）将

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

代入（x-1）²+（y-1）²=2得t²-t-1=0，
解得，t₁=

1+ 5

2

，t₂=

1- 5

2

．
则|EA|+|EB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

5

．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线方程的应用，考查了计算能力，属于基础题．