Question

已知f（x）为三次函数，当x=1时f（x）有极大值4，当x=3时，f（x）有极小值0，且函数f（x）过原点，则此函数是（　　）

• A、f（x）=x³-2x²+3x
• B、f（x）=x³-6x²+x
• C、f（x）=x³+6x²+9x
• D、f（x）=x³-6x²+9x

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：设三次函数为y=ax³+bx²+cx+d，利用过原点，推出常数项为d=0，y'=3ax²+2bx+c，根据该函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，得到方程组，从而可求a，b，c，故可得三次函数．

解答： 解：设三次函数为y=ax³+bx²+cx+d
因为过原点，所以常数项为d=0
∴y=ax³+bx²+cx
∴y'=3ax²+2bx+c
由于该函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，
所以3ax²+2bx+c=0有两个实根1和3
∴

1+3=- 2b 3a 1×3= c 3a a+b+c=4

，
∴a=1，b=-6，c=9
所以三次函数为y=x³-6x²+9x
故选D．

点评：本题以函数的性质为载体，考查函数解析式的求解，解题的关键是正确运用导数，合理建立方程组．