Question

已知点A（0，4），圆O：x²+y²=4，点P在圆O上运动．
（1）如果△OAP是等腰三角形，求点P的坐标；
（2）如果直线AP与圆O的另一个交点为Q，且|AP|²+|AQ|²=36，求直线AP的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由△OAP是等腰三角形，可得|AP|=|OA|=4或|AP|=|OP|=2，条件代入，即可求点P的坐标；
（2）可设直线AP方程为y=kx+4，代入x²+y²=4，可得（1+k²）x²-8kx+12=0，利用韦达定理，结合|AP|²+|AQ|²=36，即可求直线AP的方程．

解答： 解：（1）∵圆O：x²+y²=4，∴圆心O（0，0），半径为2，
设P（x，y），则|OP|=2
∵点A（0，4），∴|OA|=4，|AP|=

x2+(y-4)2

，
∵△OAP是等腰三角形，
∴|AP|=|OA|=4或|AP|=|OP|=2．
|AP|=|OA|=4时，x²+y²=4且

x2+(y-4)2

=4，解得x=

15

2

，y=

1

2

或x=-

15

2

，y=

1

2

∴P（

15

2

，

1

2

）或P（-

15

2

，

1

2

）；
|AP|=|OP|=2时，x²+y²=4且

x2+(y-4)2

=2，解得x=0，y=2，此时O，P，A三点共线，不合题意，
综上，P（

15

2

，

1

2

）或P（-

15

2

，

1

2

）；
（2）若直线AP为y轴，则P（0，2），Q（0，-2）或P（0，-2），Q（0，2）
|AP|²+|AQ|²=36，不合题意；
由此可设直线AP方程为y=kx+4，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线代入x²+y²=4，可得（1+k²）x²-8kx+12=0，
x₁+x₂=-

8k

1+k2

①，x₁x₂=

12

1+k2

②，
∵点A（0，4），|AP|²+|AQ|²=36，∴x₁²+（y₁-4）²+x₂²+（y₂-4）²=36，
y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4代入整理得（1+k²）[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=36③
①②③联立可得k=±

15

，符合题意．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．