题目内容

19．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤8}\\{y≥a}\end{array}\right.$表示的平面区域的面积为25，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为17．

分析 由约束条件作出可行域，结合可行域的面积求得a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤8}\\{y≥a}\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=8}\end{array}\right.$，解得C（4，4），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a}\end{array}\right.$，解得A（a，a），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{x+y=8}\end{array}\right.$，解得B（8-a，a），
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}（8-2a）•（4-a）=25$，即a=-1，
∴B（9，-1），
化目标函数z=2x+y为y=-2x+z，
由图可知，当直线y=-2x+z过点B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为17．
故答案为：17．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

练习册系列答案
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