Question

14．已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别是${a_n}=\frac{{a{n^2}+3}}{{b{n^2}-2n+2}}$，${b_n}=b-a{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，其中a、b是实常数，若$\lim_{n→∞}{a_n}=3，\lim_{n→∞}{b_n}=-\frac{1}{4}$，且a，b，c成等差数列，则c的值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据洛必达法则求出$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{a{n}^{2}+3}{b{n}^{2}-2n+2}$=$\frac{a}{b}$=3，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=$\underset{lim}{n→∞}$（b-a$（\frac{1}{3}）^{n-1}$）=b=-$\frac{1}{4}$，再根据等差中项即可求出c的值．

解答 解：$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{a{n}^{2}+3}{b{n}^{2}-2n+2}$=$\frac{a}{b}$=3，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=$\underset{lim}{n→∞}$（b-a$（\frac{1}{3}）^{n-1}$）=b=-$\frac{1}{4}$，
∴a=-$\frac{3}{4}$，
∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
∴c=-$\frac{2}{4}$-（-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$

点评 本题考查了函数极限的求法和等差中项的性质，属于基础题．