Question

8．如图，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$；②$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$；③$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$；④$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$；⑤$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$．其中终点落在阴影区域内的向量的序号有（　　）

• A． ①②④
• B． ①③
• C． ②③⑤
• D． ①③⑤

Answer 1

分析 作平面向量的线性运算，结合当x≥0，y≥0，x+y=1时，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则点C在线段AB上；从而解得．

解答 解：由题意作平面向量的线性运算如下，
又∵当x≥0，y≥0，x+y=1时，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则点C在线段AB上；
∴$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$的向量的终点在阴影内；
∵$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OB}$；
∴$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$的向量的终点不在阴影内；
∵$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{OB}$；
∴$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$的向量的终点在阴影内；
∵$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$=$\frac{7}{4}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$的向量的终点不在阴影内；
故选B．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的应用及数形结合的思想方法应用．