Question

9．已知定义在R上函数f（x）是可导的，f（1）=2，且f（x）+f'（x）＜1，则不等式f（x）-1＜e^1-x的解集是（　　）（注：e为自然对数的底数）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，0）∪（0，1）
• C． （0，1）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 根据题意，设F（x）=e^x（f（x）-1），对其求导可得F'（x），分析可得函数F（x）为减函数且F（1）=e，进而可以将不等式f（x）-1＜e^1-x转化为F（x）＜F（1），由F（x）的单调性分析即可得答案．

解答 解：根据题意，设F（x）=e^x（f（x）-1），则F'（x）=e^x[f（x）+f'（x）-1]，
因为e^x＞0，由已知可得，F'（x）＜0，即函数F'（x）是单调减函数，F（1）=e，
故f（x）-1＜e^1-x，即F（x）＜F（1），
则有x＞1；
即不等式f（x）-1＜e^1-x的解集是（1，+∞）；
故选：A．

点评 本题考查导数与函数单调性的关系，关键是构造函数F（x）=e^x（f（x）-1）．