Question

已知方程x⁴-2x²-1=a，x∈[-1，2]有3个不同的根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：方法一利用数形结合法，分别画出y=x⁴-2x²，和y=a+1的图象，根据图象的交点得到a的取值范围，
方法二，构造函数f（x）=f（x）=x⁴-2x²，利用导数求出函数的极值，根据函数图象的单调性得到a的范围

解答： 解：∵x⁴-2x²-1=a，
∴x⁴-2x²=a+1，
分别画出y=x⁴-2x²，和y=a+1的图象，如图所示，
∵x∈[-1，2]有3个不同的根，
∴y=x⁴-2x²，和y=a+1的图象有三个交点，
∴-1＜a+1＜0，
解得-2＜a＜-1，
方法二，令函数f（x）=x⁴-2x²，
∴f′（x）=4x³-4x=4x（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，解得x=0，或x=-1，或x=1，
列表如图所示

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	极小值	+	极大值	-	极小值	+
f（x）	减	-1	增	0	减	-1	增

故x⁴-2x²-1=a，x∈[-1，2]有3个不同的根，则f（x）=x⁴-2x²，和f（x）=a+1的图象有三个交点，
∴-1＜a+1＜0，
解得-2＜a＜-1，

点评：本题主要考查了导数和函数的极值的关系，以及方程的根的个数问题，数形结合时关键，属于中档题