Question

设a为常数，函数f（x）=

x

-alnx．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）是[1，+∞）上增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=

x

-lnx，求导并令导数为0，从而解出x，再观察在这个值附近的导数正负，从而确定极值；
（2）若使函数f（x）是[1，+∞）上增函数，则只需使f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，从而解得．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=

x

-lnx，
f′（x）=

1

2

1

x

-

1

x

=

x -2

2x

，
令f′（x）=0解得，x=4，
在x=4附近，左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0；
故f（x）在x=4附近有极小值f（4）=2-ln4；
（2）∵f′（x）=

1

2

1

x

-a

1

x

=

x -2a

2x

，
若使函数f（x）是[1，+∞）上增函数，
∴

x -2a

2x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴1-2a≥0，
故a≤

1

2

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的转化与处理，属于中档题．