Question

已知函数f（x）=

x+a

2x2+1

（x∈R）是奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由于f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），计算化简即可得到a=0，进而得到解析式；
（Ⅱ）将函数整理成二次方程，先讨论二次项系数为0，再考虑不为0，再由判别式大于0，解得即可得到值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
又f(-x)=

-x+a

2x2+1

=-

x+a

2x2+1

⇒-x+a=-x-a⇒a=0，
∴f(x)=

x

2x2+1

；
（Ⅱ）y=

x

2x2+1

⇒2yx2-x+y=0，
当y=0时，x=0∴y=0成立，
当y≠0时，△=1-4×2y×y≥0⇒-

2

4

≤y≤

2

4

且y≠0．
综上值域为[-

2

4

，

2

4

]．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和运用，以及函数的值域的求法：判别式法，考查运算能力，属于中档题．