题目内容

13．如图，在斜三梭柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1
（1）求证：E是AB中点；
（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．

分析 （1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．
（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．

解答 证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，
∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，
∴O为AC1的中点，
∵E′是AB的中点，
∴OE′∥BC1；     
∵OE′?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，
∴OE′∥平面BCC1B1，
∵OE∥平面BCC1B1，
∴E，E′重合，
∴E是AB中点；
（2）∵侧面AA1C1C是菱形，
∴AC1⊥A1C，
∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC，
∴AC1⊥平面A1BC，
∵BC?平面A1BC，
∴AC1⊥BC．

点评 本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题．

练习册系列答案
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