Question

1．如图，在四棱锥E-ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD．
（Ⅰ）求证：BE=DE；
（Ⅱ）若AB=2$\sqrt{3}$，AE=3$\sqrt{2}$，平面EBD⊥平面ABCD，直线AE与平面ABD所成的角为45°，求二面角B-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，推导出CO⊥BD，EO⊥BD，由此能证明BE=DE．
（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AE-D的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，
∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，
又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，
在△BDE中，∵O为BD的中点，∴BE=DE．
（Ⅱ）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，
EO⊥BD，
∴EO⊥平面ABCD，又∵CO⊥BD，AO⊥BD，
∴A，O，C三点共线，AC⊥BD，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，
在正△ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，∴AO=3，BO=DO=$\sqrt{3}$，
∵直线AE与平面ABD所成角为45°，∴EO=AO=3，
A（3，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，-$\sqrt{3}$，0），E（0，0，3），
$\overrightarrow{AB}$=（-3，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（-3，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-3，0，3），
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-3a+\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-3a+3c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=-3x-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=-3x+3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
设二面角B-AE-D为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$．
∴二面角B-AE-D的余弦值为$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查两线段相等的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．