Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（aπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点同时在圆x²+y²=3的内部，求正数a的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接由图象得到A和

T

4

的值，进一步求出T的值，由周期公式求得ω，再由五点作图的第三点得φ，则函数
f（x）的解析式可求；
（2）求出函数f（aπx）的解析式，由三角函数的图象平移可知要满足函数f（aπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点同时在圆x²+y²=3的内部，则需至少一个最低点（-

5

12a

，

2

）在圆x²+y²=3的内部，由此列不等式(-

5

12a

)2+(

2

)2≤3求解正数a的取值范围．

解答： 解：（1）由图可知，A=-

2

，

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，
∴T=π，则

2π

ω

=π，ω=2．
由五点作图的第三点得：2×

π

3

+φ=π，φ=

π

3

，符合|φ|＜

π

2

，
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）；
（2）f（aπx）=

2

sin（2aπx+

π

3

），
该函数图象是把y=sinx的图象向左平移

π

3

个单位，然后把图象上点的横坐标变为原来的

1

2aπ

，
再把图象上点的纵坐标扩大到原来的

2

倍得到的，
∴要使函数f（aπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点同时在圆x²+y²=3的内部，
则需至少一个最低点（-

5

12a

，

2

）在圆x²+y²=3的内部，
即(-

5

12a

)2+(

2

)2≤3，解得：a≤-

5

12

或a≥

5

12

，
∴正数a的取值范围是[

5

12

，+∞）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了数学转化思想方法，解答此题（2）的关键是把问题转化为至少一个最低点（-

5

12a

，

2

）在圆x²+y²=3的内部，进一步列不等式求解，是中档题．