Question

（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C₁：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C₁的长轴是圆C₂：x²+y²=4的直径，l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中l₁交圆C₂于A、B两点，l₂交椭圆C₁于另一点D．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l₁的方程．

Answer 1

（1）      （2）

（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．
∴椭圆C₁的方程为；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．
由题意可知：直线l₁的斜率存在，设为k，则直线l₁的方程为y=kx﹣1．
又圆的圆心O（0，0）到直线l₁的距离d=．
∴|AB|==．
又l₂⊥l₁，故直线l₂的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k²）x²+8kx=0，解得，
∴．
∴三角形ABD的面积．
∴=，当且仅当时取等号，
故所求直线l₁的方程为．